7.ALGEBRA DE BOOLE

DEFINICIÓN:

Se define como Álgebra de Boole (A, +, *) como todo conjunto de elementos capaces de adoptar dos valores, designados por 1 y 0, y entre los cuales están definidas dos operaciones: Suma lógica (+) y producto lógico (*). Cada uno de dichos elementos recibe una variable lógica o binaria.

POSTULADOS:

Tiene estructura de Algebra de Boole si solo se cumplen los siguientes cuatro postulados:

                                                                                                                                                                       

                 1. Las operaciones + y * son conmutativas.

                 Ejemplo:   a + b = b + a    y       a * b = b * a

                                                                                                                                                                                                

                 2. Existen en B dos elementos neutros, que se denotan por 1 y 0, para las operaciones 

                 + y *, respectivamente.

                 Ejemplo:   a + 0 = a          y        a * 1 = a

                                 

                 3. Cada operación es distributiva con respecto a la otra (expresa el proceso de sacar 

                 factor común).

                 Ejemplo: (tres variables): a (b + c) = ab + ac

                                               

                 4. Para cada elemento a de B existe un tal que:

  Ejemplo:    a + a (con rayita encima) = 1       y     a * a (con rayita encima) = 0 

TEOREMAS:

 Existen una serie de teoremas, validos en cualquier Algebra de Boole, los cuales 

 serán útiles para la simplificación de funciones:

               

                Teorema 1 (Principio de dualidad): Cada proposición o identidad algebraica 

                deducible de los postulados del algebra de Boole permanece valida si:

                ·      Se cambian entre si las operaciones + y *

                ·      Se cambian entre si los elementos neutros 0 y 1                 

                 

                Teorema 2:                   x + x = x                x * x = x

                                                                                                                                                                                    

                Teorema 3:                    x + 1 =1                x * 0 = 0

                      

                Teorema 4 (Ley de absorción):                  x + x * y = x            x (x*y) = x

                                

                Teorema 5:                    x + (y + z) = (x + y) + z        x (y * z) = (x * y) z

                     

                Teorema 6:

                     

                Teorema 7:

                Teorema 8: 

                        

                Teorema 9: